10175101159 edited 6 年，11 月前
设fn=Σi=1nTi2 我们有递推式fn=fn−1+n2fn+n2(n≥3),f1=1,f2=5 待定系数易得fn−(n+1)fn−1−n=−n[fn−1−nfn−2−(n−1)]=n(n−1)[fn−2−(n−1)fn−3−(n−2)] 在两边取对数前，不难发现f2−3f1−2=0,f3−4f2−3=0 因而有fn−(n+1)fn−1−n≡0 整理得fn+1=(n+1)(fn−1+1),n≥2 因此fn+1=(n+1)(fn−1+1)=(n+1)n(fn−2+1)=⋯=(n+1)n(n−1)⋯⋅4⋅3(f1+1)=(n+1)! 从而fn=(n+1)!−1