Problem 5 特殊的子集 很开心花了点时间把表达式推出来了OwO

10175101159 edited 3 年,7 月前

设$f_{n}=\Sigma_{i=1}^{n}T_{i}^{2}$
我们有递推式$f_{n}=f_{n-1}+n^{2}f_{n}+n^{2}(n\ge3),f_{1}=1,f_{2}=5$
待定系数易得$f_{n}-(n+1)f_{n-1}-n=-n[f_{n-1}-nf_{n-2}-(n-1)]=n(n-1)[f_{n-2}-(n-1)f_{n-3}-(n-2)]$
在两边取对数前,不难发现$f_{2}-3f_{1}-2=0,f_{3}-4f_{2}-3=0$
因而有$f_{n}-(n+1)f_{n-1}-n\equiv0$
整理得$f_{n}+1=(n+1)(f_{n-1}+1),n\ge2$
因此$f_{n}+1=(n+1)(f_{n-1}+1)=(n+1)n(f_{n-2}+1)=\cdots=(n+1)n(n-1)\cdots\cdot4\cdot3(f_{1}+1)=(n+1)!$
从而$f_{n}=(n+1)!-1$

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