3034. 数字拆分

证明过程
【转】 原文链接：https://blog.csdn.net/zhang20072844/java/article/details/17033931
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记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。

证明:

证明的要点是考虑划分中是否有1。

记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。

以上记号的具体例子见文末。

我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。

接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。

把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。

所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            

这就证明了我们的递推公式。

记 f(0) = 1，根据递推公式，可以得到:
f(2m) = f(0) + f(1) + … + f(m)。
一些例子：

A(3) = {
  (1,1,1)
  (1,2)
},
f(3) = 2,

A(4) = {
 (1,1,1,1)
  (1,1,2)
  (2,2)
  (4)
},
f(4) = 4,

A(5) = {
 (1,1,1,1,1)
  (1,1,1,2)
  (1,2,2)
  (1,4)
},
f(5) = 4,

A(6) = {
 (1,1,1,1,1,1)
  (1,1,1,1,2)
  (1,1,2,2)
  (1,1,4)
  (2,2,2)
  (2,4)
},
f(6) = 6,

B(6) = {
 (1,1,1,1,1,1)
  (1,1,1,1,2)
  (1,1,2,2)
  (1,1,4)
},
g(6) = 4,

C(6) = {
  (2,2,2)
  (2,4)
},
h(6) = 2.

（捂脸）自己动态规划还是个小白……自己想了半天写出来的算法还是垃圾，最后看了别人的算法恍然大悟。
对于f(n)，有两种情况，第一是n为奇数，这时f(n)=f(n-1)，第二种是n为偶数，这时f(n)可以表示为f(n-1)的所有表示后再加1，以及f(n/2)的所有表示乘2。
附C代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
    long long ans[MAX]={0};
    int i, j, n;
    ans[0]=1;
    ans[1]=1;
    for(i=2; i<1000001; i++)
    {
        if(i%2) ans[i]=ans[i-1];
        else ans[i]=(ans[i-1]+ans[i/2])%1000000000;
    }
    scanf("%d",&n);
    for(i=0; i<n; i++) 
    {
        scanf("%d",&j);
        printf("case #%d:\n%lld\n",i,ans[j]);
    }
    return 0;
}

Hints:EOJ嘛~大家都懂的，暴力完全背包毫无压力。

这题太鬼畜了，怎么还要对 1‘000‘000‘000 取模都不告诉我们……还是看评论区的大佬才知道的。

用完全背包妥妥就过了，复杂度是 $O(n\log n)$ 对于百万级的 $n$ 完全够用。

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
using u64 = uint64_t;

int main() {
    u64 t;
    cin >> t;
    for (u64 query = 0; query < t; ++query) {
        cout << "case #" << query << ":\n";
        u64 n;
        cin >> n;
        vector<u64> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (u64 i = 1; i <= n; i <<= 1) {
            for (u64 j = i; j <= n; ++j) {
                constexpr static u64 kMod = 1'000'000'000;
                dp[j] = (dp[j - i] + dp[j]) % kMod;
            }
        }
        cout << dp[n] << '\n';
    }
}

题目有说对10亿取模？