3658. 清点星辰

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“夜里,
你要抬头仰望满天的星星。
我那颗实在太小了,
我都没法指给你看它在哪儿。”

这样倒也好,我的星星,对你来说就是满天星星中的一颗。

所以,你会爱这满天的星星…所有的星星都会是你的朋友。

即使只能通过狭小的洞口,在楼宇的夹缝中仰望布满星辰的天空,你还是无法割舍对它的期待。

星星数不胜数,但你还是不厌其烦地清点他们。日复一日,终于在今天,你把他们都数清楚了。

于是你又开始找别的事情做了。你开始计算他们两两之间的最近距离。

你仰望星空的洞口是一个 的正方形,每天,星辰的位置都会发生变化,具体地说,每天都会有 个星辰随机地散落在这个正方形内的某个坐标上(每个点横纵坐标满足独立同分布 )。

每天的距离都在变化,所以现在你只想知道他们两两之间最近距离的期望是多少。

输入格式

输入一个整数 () ,表示星辰的数量。

输出格式

一行一个小数,输出答案。绝对误差 内会被视为正确。

样例

Input
2
Output
0.521405
Input
3
Output
0.3055302430

提示

对于某连续性随机变量 ,若其取值范围为 ,其概率密度函数为 ,则其期望定义为 。若要求关于 的函数 的期望,则

该式子可以在多变量上进行推广,如果有两个随机变量 , ,则关于 的函数 的期望可以定义为 ,其中 的联合概率密度函数。在 独立时,

在本题中,所有变量的概率密度函数都是 。故所求式可以写为:

时,该式可以化简为:

求出该积分的值约为

的情形下,由于式子中有 ,积分式十分复杂,很有可能没有解析解。在定积分不可行的情况下,可以采用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值,这种方法称为数值积分。借助于电子计算设备,数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。数值积分常用的方法包括矩形法、辛普森积分法等。更多有关数值积分的数学原理和算法介绍,读者可以自行阅读维基百科

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4.0 EMB 奖励。

创建: 5 月,2 周前.

修改: 5 月,2 周前.

最后提交: 3 周,5 天前.

来源: EOJ Monthly 2018.12

题目标签