3658. 清点星辰

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“夜里,
你要抬头仰望满天的星星。
我那颗实在太小了,
我都没法指给你看它在哪儿。”

这样倒也好,我的星星,对你来说就是满天星星中的一颗。

所以,你会爱这满天的星星…所有的星星都会是你的朋友。

即使只能通过狭小的洞口,在楼宇的夹缝中仰望布满星辰的天空,你还是无法割舍对它的期待。

星星数不胜数,但你还是不厌其烦地清点他们。日复一日,终于在今天,你把他们都数清楚了。

于是你又开始找别的事情做了。你开始计算他们两两之间的最近距离。

你仰望星空的洞口是一个 $1 \times 1$ 的正方形,每天,星辰的位置都会发生变化,具体地说,每天都会有 $n$ 个星辰随机地散落在这个正方形内的某个坐标上(每个点横纵坐标满足独立同分布 $U(0,1)$)。

每天的距离都在变化,所以现在你只想知道他们两两之间最近距离的期望是多少。

输入格式

输入一个整数 $n$ ($2 \le n \le 10^9$) ,表示星辰的数量。

输出格式

一行一个小数,输出答案。绝对误差在 $10^{-3}$ 内会被视为正确。

样例

Input
2
Output
0.521405
Input
3
Output
0.3055302430

提示

对于某连续性随机变量 $X$,若其取值范围为 $\Omega$,其概率密度函数为 $p(x)$,则其期望定义为 $E(X) = \int_{\Omega} x p(x)$。若要求关于 $X$ 的函数 $f(X)$ 的期望,则 $E(f(X)) = \int_{\Omega} f(x) p(x)$。

该式子可以在多变量上进行推广,如果有两个随机变量 $X$, $Y$,则关于 $X,Y$ 的函数 $f(X, Y)$ 的期望可以定义为 $E(f(X,Y)) = \int_{\Omega} f(x,y) p(x,y)$,其中 $p(x,y)$ 是 $x,y$ 的联合概率密度函数。在 $X$ 和 $Y$ 独立时,$p(x,y) = p(x)p(y)$

在本题中,所有变量的概率密度函数都是 $p(x)=1,0<x<1$。故所求式可以写为:

$\overbrace{ \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 }^{ 2n } \min_{1\le i < j \le n} \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2} \text{ dx}_1 \text{dy}_1 \text{dx}_2 \text{dy}_2 \cdots \text{dx}_n \text{dy}_n$

在 $n=2$ 时,该式可以化简为:

$$\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \text{ dx}_1 \text{dy}_1 \text{dx}_2 \text{dy}_2$$

求出该积分的值约为 $0.521405$。

在 $n>2​$ 的情形下,由于式子中有 $\min$,积分式十分复杂,很有可能没有解析解。在定积分不可行的情况下,可以采用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值,这种方法称为数值积分。借助于电子计算设备,数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。数值积分常用的方法包括矩形法、辛普森积分法等。更多有关数值积分的数学原理和算法介绍,读者可以自行阅读维基百科

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创建: 1 年,11 月前.

修改: 1 年,11 月前.

最后提交: 4 天,8 小时前.

来源: EOJ Monthly 2018.12

题目标签