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在采用进位计数的数字系统中,如果使用的数码依次为 $0,1,2,\ldots,R-1$,总共 $R$ 个数码,则称其为基 $R$ 数制或 $R$ 进制。$R$ 称为该数制的“基数”($Radix$),例如,十进制的基数是 $10$(数码为: $0,1,2,\ldots,9$),二进制的基数是 $2$(数码为: $0,1$),八进制的基数是 $8$(数码为: $0,1,2,\ldots,7$)。
现有一种特殊的按位计数系统,该系统采用的基数为复数 $-1+i $(其中 $i$ 表示 $ \sqrt{-1} $ )。在$ -1+i $ 进制系统中,所有“复数整数”(实部和虚部都为整数的复数,这种复数在数学上称为高斯整数)都可以表示成一个“数”,该“数”只含有 $0,1$ 两个数码,不需要正负符号或其他常规手段,而且每个“复数整数”只有唯一一种表示方法。例如:整数 $2$ 用 $ -1+i $ 进制表示出来是1100
。
任意一个“复数整数” $a+bi$ ($a,b$ 均为整数) 可采用如下算法转换为$-1+i$ 进制表示:
1、$a+bi$ 除以 $-1+i $ 得到商 $q$ 和余数 $r$ ,商$q$ 也为“复数整数”,余数 $r$ 为 $0$ 或 $1$。
令 $q=q_r+q_ii$ ($q_r$ 与 $q_i$ 均为整数,分别表示商 $q$ 的实部与虚部),
$q,r$ 必满足下式: $ a+bi= (q_r+q_ii)(-1+i) + r$
如果 $a,b$ 均为偶数或均为奇数,则令 $r$ 为 $0$。
此外,如果 $a,b$ 一奇一偶,则令 $r$ 为 $1$。
2、重复第一步用商 $q$ 除以 $-1+i $ 记录下余数 $r$,直到商为 $0$,运算过程结束。
3、从下往上读取余数,就可得到 “复数整数” $a+bi$ 的 $-1+i$ 进制表示。
例如:整数 $2 = 2+ 0i $ 的运算过程:
整数 $2$ 的实部和虚部都是偶数,所以余数为 $0$ ,$\frac{2}{-1+i} =(-1-i)$ 余 $0$
$-1-i$ 的实部和虚部均为奇数,所以余数为 $0$,$\frac{-1-i}{-1+i}=i$ 余 $0$
$i$ 的实部为偶数,虚部为奇数,所以余数为 $1$,$\frac{i}{-1+i}=1$ 余 $1$
$1$ 的实部为奇数,虚部为偶数,所以余数为 $1$,$\frac{1}{-1+i}=0$ 余 $1$
商为 $0$,运算结束,从下往上读取,得到整数 $2$ 用$-1+i$进制表示为1100
。
下表列出了 $-1+i$ 进制的位串0000
至1111
对应的十进制下的“复数整数”。
$-1+i$ 进制 | 十进制下的复数整数 |
---|---|
0 | $0$ |
1 | $1$ |
10 | $ -1+i $ |
11 | $i$ |
100 | $-2i$ |
101 | $ 1-2i $ |
110 | $ -1-i $ |
111 | $ -i $ |
1000 | $2+2i$ |
1001 | $3+2i$ |
1010 | $1+3i$ |
1011 | $2+3i$ |
1100 | $2$ |
1101 | $3$ |
1110 | $ 1+i $ |
1111 | $ 2+i $ |
输入一个 $ -1+i$ 进制下的数(为了简化,我们将0,1位串用一个十六进制整数表示),输出其对应的十进制下的“复数整数” $a+bi$。
在一行中输入一个 $ -1+i$ 进制下的数(十六进制表示,使用 0~9 以及大写 A~F)。
在一行中输出对应的十进制下的“复数整数” $a+bi$($a,b$均为整数),省略的情况与正常书写复数时一致,请参考上面的表格以及样例。
0x21
5-4i
0x2
-1+i
0x1C
-2
0x9
3+2i
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创建: 6 年,6 月前.
修改: 1 年,9 月前.
最后提交: 8 月,3 周前.
来源: N/A