ACM-ICPC 2018 Xuzhou Online Contest

ECNU Foreigners

代码

Problem A

Solved by ultmaster. 01:19 (+)

题意：一个环形的 $n$ 的列表每个数都是 $0$ 到 $2^k-1$，求相邻两个数同或不为 0 的方案数。

题解：没看到环形的自闭了好久。Clarification 无响应。AC 了之后发了个样例解释在 Clarification 里居然有人说是错的（后来仔细一看 真的错了）。

观察一下或者打个表可以发现，异或和同或基本是一样的。除了 $n$ 为偶数的时候，同或多 $2^k$ 种方案。

这样就转化成异或的问题，这是一个经典的容斥问题。答案就是 $ \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n}{i} 2^{k(n-i)} (-1)^i$。

本来想用 OEIS 的（表都打好了，又读错了题有点自闭），结果一下子就推出来了。。。

Problem B

Solved by kblack. 01:16 (+1)

题意：博弈，每人轮流选择可以 $+a_i$ 或 $-b_i$ 或 $*(-1)$，两个人分别要最终大于或小于某个数，求结果。

题解：记忆化搜索，状态是 (当前轮次, 当前分数)。

Problem C

Solved by ultmaster. 02:56 (+2)

题意：有点复杂。一个 1~9 的九宫格，有些东西别人知道你不知道，有些东西大家都不知道。别人会采取最优策略选横着的或者竖着的或者斜着的三个数，然后获取一定的积分（因为有的数 TA 也不知道，所以是一种策略）。你要计算别人得分的期望。

题解：对于你不知道的别人知道的每一种情况，要算出得分期望的最大值。得分期望的最大值是每种决策（总共 8 种）得分期望中最大的一种。想清楚了这一点模拟就好。实现的时候由于常数巨大（甚至多了个 log），改成 pb_ds hash_table 才过。

Problem D

Solved by zerol. 00:59 (+2)

题意：求 $\sum_{i=1}^m \mu(in)$

题解：如果 $n$ 中有平方因子，那么显然答案是 0。否则相当于求 $\mu(n) \cdot \sum_{i=1}^m \mu'(i)$，其中 $\mu'$ 是在 $\mu$ 的基础上不把 $n$ 的质因数当质数。类似于求 $\mu$ 的前缀和的方法（任意一种亚线性筛），改一改就能过了。

min_25 筛的做法：对于求 $\mu$，第一步是求质数的个数的前缀和，先假装所有质数都是质数，然后对于 $n$ 的质因子，把它们从质数个数前缀和中除名。第二步计算前缀和的时候就按照真实（$f(p^c)=-1$ 当且仅当 $c=1$ 且 $p$ 不是 $n$ 的质因数）的方法计算。

杜教筛的做法：

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} f(n,m) &=& \sum_{i=1}^n \mu(im) \\ &=&\mu(m)\sum_{i=1}^n[(i,m)=1]\mu(i) \\ &=& \mu(m)\sum_{d|m}\mu(d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \mu(id) \\ &=& \mu(m)\sum_{d|m}\mu(d) f(\lfloor \frac n d \rfloor,d) \end{eqnarray} }[/math]

递归部分不用记忆化，暴力递归，复杂度玄学。 递归的中止条件是 $b=1$ 此时就变成求 $\mu$ 的前缀和了，可以用杜教筛在 $O(n^\frac 2 3)$ 时间内求出所有需要的 $f(a,1)$（可以参考 2016 集训队论文）。

zerol：min_25 筛的好处是不用思考，但这题好像魔改的有点多（所以玩脱了）。如果 min_25 第一步直接计算（$f(p)$ 的函数值只有 0 或 1，满足完全积性的条件）的话会需要求 $O(\sqrt m)$ 次 1~x 中与 $n$ 互质的数的个数，这部分会算得很慢，所以才要先把所有质数当质数在扣除掉 $n$ 的质因子。

Problem E

Upsolved by zerol.

题意：求至多经过 k 个点的点权和最大的路径的点权，其中连续的 t 个点的点权可以翻倍。

题解：如果没有翻倍操作，那么直接快速幂可以求出答案（直接矩阵快速幂）。现在先求不超过 t 个点的答案矩阵 R，将其翻倍。然后需要在前面或后面补上共 k-t 条边。最朴素的做法是在 R 前后各乘一个矩阵然后取较大值（含义就是要么前面加一条边，要么后面加一条边），重复 k-t 次。现在要用快速幂加速这个过程，我要保证 k-t 的任意拆分 (a+b=k-t) 能够被表示。所以对 k-t 进行拆分，先拆出 1,2,4,8,... 剩下的部分再补上去（比如 20 会被拆成 1,2,4,8,1,4）。

更详细的题解：$A[i][i]=v[i]$，$G[i][j]=v[j],rG[i][j]=v[i] （\forall (i,j) \in E)$。先求出至多 t 个点的答案，$R=A\times G^{t-1}$，$f(M)=rA \times M+M \times A$，那么答案就是 $f^{k-t}(2R)$。定义乘法就是矩阵乘法中的乘改成加，加改成 max，然后对两个矩阵都取 max。定义加法就是 max。

zerol：经过讨论一致决定，这锅卡车运输背。

Problem F

Solved by ultmaster. 00:26 (+)

题意：每天出现若干种颜色，求最长的时间区间使得一种颜色连续出现。

题解：维护每种颜色已经连续出现的次数即可。

Problem G

Solved by kblack. 00:34 (+)

题意：堆叠若干个以原点为左下角的矩形，求看得到的右边界和上边界的总长度。

题解：从后往前，添加矩形时计算向下和向左露出的边界长度，这个部分可以用 bit 或线段树维护后缀最大值做。

Problem H

Solved by zerol. 01:16 (+)

题解：单点修改，询问区间内所有前缀和的和。

题解：用 BIT 维护 a[i] 以及 (n-i+1)*a[i] 的区间和，一次询问就是 (n-i+1)*a[i] 的区间和减去若干倍的 a[i] 的区间和。

Problem I

Solved by kblack. 00:16 (+)

温暖的签到 A。

Problem J

Solved by kblack. 02:42 (+3)

题意：造一个最便宜的迷宫，求一个最短路径。

题解：造一个最贵的生成树，求一个树上距离。

Problem K

Solved by zerol. 02:51 (+6)

题意：求模 2 意义下很多次二维卷积的结果。

题解：类似快速幂，但需要求出一次卷积的效果（每一个位置由所有位置中若干个位置 1 的个数的奇偶性唯一决定），总复杂度 $O(n^4 \log t)$。

更加详细的题解：

需要解决的问题有：计算一次卷积的效果，把一个效果翻倍，把一个效果作用于输入的矩阵。

一次卷积的效果：对于矩阵 A 的每一个位置，用一个二进制位标记。最后的效果表示为每个位置附带有一个二进制数，表示所有位置对该位置产生贡献是奇数次还是偶数次。

将效果作用于矩阵：对于每个位置，计算出其他所有位置对它的贡献之和奇偶性。

效果翻倍：对于每个位置，计算所有位置对它贡献之后的所有位置的新的奇偶性。

计算一次卷积的效果：跑一趟卷积就好了。

One,Two,Three,AK

Problem A

Solved by Xiejiadong. 2:15:12(+)

题意：一个环形的 n 的列表每个数都是 0 到 2k−1，求相邻两个数同或不为 0 的方案数。

题解：一开始没开这题。写了几个数以后，一下就推出来了，似乎并不难。

对于 n 分奇数和偶数讨论一波就好了。

Problem B

Solved by oxx1108. 1:38:59(+1)

题意：两人博弈，每个人有三种选择，最后问谁必胜或者平局。

题解：套路题，记忆化搜索一下就行。

Problem C

Solved by oxx1108. 3:15:01(+1)

题意：算个填九宫格的期望。

题解：直接模拟一下就好了，时间复杂度极限9！，就是写起来比较麻烦。

Problem D

Solved by dreamcloud. 4:48:53(+3)

题意：求$\sum_{i = 1}^m \mu(in)$

题解：

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} &f(n,m) = \sum_{i = 1}^m \mu(in) \\ &=& \mu(n)\sum_{i = 1,gcd(i,n) = 1}^{m} \mu(i) \\ &=& \mu(n) \left( \sum_{d | n} \mu(d)\sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} \mu(id) \right)\\ &=& \mu(n) \left( \sum_{d | n} \mu(d) f(d,\lfloor \frac{m}{d} \rfloor) \right)\\ \end{eqnarray} }[/math]

Problem E

Unsolved.

Problem F

Solved by oxx1108. 1:00:47(+4)

题意：求某个坐标最长连续出现的次数。

题解：直接map哈希，然后扫一下就行。忘记clear wa了四发。

Problem G

Solved by Xiejiadong. 4:43:03 (+6)

题意：每一次的波浪就会将自己范围内的痕迹清除，求所有波浪后的痕迹长度。

题解：我们对于所有的波浪倒着处理。用当前区间的最大值和自己的高度处理一下就行了。用线段树来维护。

煞笔题...从开场卡到结束。

Xiejiadong：我又来背锅了。

Problem H

Solved by dreamcloud. 1:03:30(+)

题意：给你个数组$a[1]~a[n]$，两个操作 1.查询[l,r]，输出$\sum_{i = l}^{r}a[i] * (r - l + 1)$ 2.跟新a[pos]

题解：用树状数组维护两个前缀和，一个是$a[i]$的前缀和，一个是$a[i] * (n - i + 1)$的前缀和。

Problem I

Solved by oxx1108. 0:22:20(+1)

题意：签到

题解：签到

Problem J

Solved by Xiejiadong. 02:42 (+1)

题意：在图中造一些墙，使得图中任意两点之间的路径在最小花费的情况下唯一，给出$q$个询问，每次询问任意两点之间的最短距离。

题解：每一格都向下方和右方连出一条边，在这些边中，找出一些边，使得路径唯一，并且花费最小。

这显然就是最大生成树，在最大生成树上，跑一下LCA就能计算最短距离了。

Problem K

UpSolved by dream_cloud

题意：求模 2 意义下很多次二维卷积的结果。

题解：很容易列出矩阵快速幂的式子，但是T了。由于是模2意义下，所以可以用bitset优化。

注：某些人用bool进行优化，导致完全错误，因为bool a = 1,b = 1;bool c= a + b;此时c = 1，而非我们想象的自然爆bool变为0