2019 Multi-University,HDU Day 4

Problem A

Solved by Kilo_5723. 00:12:16 (+1)

题意：给定 $1$ ~ $n$ 共 $n$ 个结点，$i$ 和 $j$ 之间的路径长为 $i \& j$，求字典序最小的最小生成树。

题解：对于每一个结点 $q$，连到最小的 $2^i\&q=0$ 上，但如果 $2^i>n$ 要连到 $1$ 上。

Problem B

Unsolved.

Problem C

Upsolved by Kilo_5723. (-3)

题意：$1$ ~ $n$ 的整数，分成 $k$ 组，使得每组的和以及每组的数的个数都相同，求可行解。

题解：首先，如果每组有偶数个整数，显然将首尾的数不断成对压进每组就能满足条件。

如果每组有奇数个整数，此时如果 $2 \mid k$，则 $k \not \mid \frac{n\cdot (n+1)}{2}$。我们只要做 $k$ 为奇数的情况就行了。

令每组的整数数量为 $m$，我们只要处理 $m=3$ 的情况就可以了，因为剩下的情况都可以处理前 $3$ 项之后转化成第一种情况。

令 $m=3,k=2\cdot t-1$，我们可以通过搜索分别找出三个数分布的规律：（第 $i$ 行第 $j$ 个数代表 $j+3 \cdot (i-1)$ 属于的集合编号）。

\begin{array}\\ 1&2&3&4&5&6&\cdots&k-5&k-4&k-3&k-2&k-1&k\\ t+1&t+2&t+3&t+4&t+5&t+6&\cdots&t-5&t-4&t-3&t-2&t-1&t\\ t&k&t-1&k-1&t-2&k-2&\cdots&t+3&3&t+2&3&t+1&1\\ \end{array}

例如当 $k=7$ 时，应为：

\begin{array}\\ 1&2&3&4&5&6&7&\\ 5&6&7&1&2&3&4&\\ 4&7&3&6&2&5&1& \end{array}

根据规律输出。

能暴力跑规律的题千万不要手推。

Problem D

Unsolved.

Problem E

Upsolved by Weaver_zhu.

题意：求$k$个数字的八进制数满足是$p$的倍数且每个数字出现次数都是3的倍数的数字有多少个。

题解：$dp[k][i][p]$ 表示状态压缩三进制 $i$ 和模等于 $p$ 的 $k$ 位数字有多少个。然后考虑倍增+卷积运算。这里的卷积是 3进制不进位加法的卷积。有个技巧是只做首尾两次 fwt 和 rfwt，因为fwt运算只涉及到加法

Problem F

Unsolved.

Problem G

Solved by Xiejiadong && Weaver_zhu. 02:45:41 (+1)

题意：判断十五数码问题是否无解。

题解：在 Xiejiadong 的强行误导下， Weaver_zhu 写了两个小时 A* 。

直接大力猜结论，大概模拟一下 $0$ 位置的变动。

根据 $0$ 所在位置的行列奇偶性和分行和列的逆序对数量奇偶行相同即可。

Problem H

Solved by Xiejiadong. 01:23:54 (+)

题意：询问一段区间 $a_l,a_{l+1},\cdots a_r$ 中元素 $\{|a_l-p|,|a_{l+1}-p|,\cdots ,|a_r-p|\}$ 中的 $k$ 大数。

题解：利用主席树可以维护一个区间里面一段值域里面元素的个数。

对于每个询问二分答案，假设当前答案为 $mid$ ，那么我们需要查询区间里面值域为 $[p-mid,p+mid]$ 的元素个数，元素个数恰好为 $k$ 的就是答案。

Problem I

Unsolved.

Problem J

Solved by Kilo_5723 && Xiejiadong. 04:09:28 (+1)

题意：求整数 $n$ 分解质因数以后，最小的指数。

题解：可以发现 $3982^4 > 10^{18}$ ，于是，我们可以知道 $> 3981$ 的数，指数最多为 $4$ 次。

我们先把 $4000$ 以内的数暴力处理掉，剩下的数就只能是某个数的整数次方了，从大到小判断开 $x$ 次方是不是整数就好了。