2018 Multi-University, Nowcoder Day 3

Problem A

Solved by kblack. 01:16 (+1)

题意：容量是四元组，求限制内最大价值和。

题解：将物品分为两半，每半用 $2^{18}$ 枚举，然后耗费 $36^4$ 更新一遍，处理没有用完限制的部分。

Problem B

Upsolved by kblack. (-2)

题意：一棵树，硬点若干个节点固定后，叶子和链（中的节点）删光，求硬点 $1$ ~ $n$ 个节点并操作后，期望剩余的节点数。

题解：对于度数 $\leq 2$ 的节点，除非被硬点否则肯定不会剩下。对于度数 $\geq 3$ 的节点，我们可以计算他被删掉时候的情况，即最多两棵子树（包括 uplink）有点被硬点才能被留下。我们可以发现这是一堆 $\binom{ x }{ k }$。可以记录分别有多少不同的 $x$，之后对于硬点 k 个的情况直接点积求和即可。

Problem C

Solved by zerol. 00:45 (+)

题意：每次把数列中一个区间的数剪切到数列的开头，最后打印这个数列。

题解：模板题。treap / splay / rope(pb_ds)

Problem D

Upsolved by ultmaster. (-6)

题意：转化过的题意就是，一个字符串在另一个字符串中找匹配的子串。匹配规则是字符相等，或至多差一。

题解：经典的使用 FFT 卷积匹配子串的题。使用 $(a-b)^2 ((a-b)-1)^2$ 就可以。唯一的问题是多出来一些前面的 $a^2$、$b^2$ 之类的项，是卷积不需要计算的，要踢掉。所以不能暴力地直接统计所有的前缀和，而是要有选择地。。。

ultmaster：

• 出了 / 做了那么多道用 FFT 匹配的题，结果今天连 FFT 都没想到。
• zerol 的暴力 Use DFA as NFA，被出题人卡掉了（太过暴力了）。
• 1 秒跑 4 次 2.5E5 的 FFT 也有点神仙。
• ultmaster 给出了一种假的卷积：$a(a-b)(a-b-1)(a-b+1)$，这样做可以避免对多出来的部分的额外处理（由最前面的 a 保证了）。但是被出题人卡掉了貌似。
• 最后还是对照了题解过的。

Problem E

Solved by ultmaster. 00:49 (+)

题意：把字符串循环起来，然后对本质不同的循环字符串进行分组。

题解：只要找到最小循环节就可以了（hash，KMP）。一开始题都没看清楚就上了 SA，一通操作以后跟 kblack 重新确认了题意。发现就是个签到题。

Problem F

Upsolved by zerol.

题意：询问一列数（每个数都是一个一位十六进制数）的某一段的所有非空子序列形成的数字的重复SOD小于16的结果的分布，同时支持修改一个位置上的数。

题解：SOD(sum of digits) 这种运算不改变 模 base-1 的值。线段树维护区间的答案和区间中 0 的个数，合并代价 16^2。（ SOD(0) = 0, SOD(v) = (v - 1) % (base - 1) + 1）

Problem G

Upsolved by zerol.

题意：求树上的染色数，使得相同颜色结点的最短距离恰好为 d。

题解：首先将问题转化为 f(d): 染色数使得相同颜色结点的距离至少为 d 的方案数。那么答案就是 f(d)-f(d+1)。关键是按照什么顺序统计使得距离 u 不超过 d 的点中不存在两个距离大于 d 的都染过了，如果能做到这个，只要按顺序求每个结点的剩下可用颜色乘起来就好了。这部分可以暴力，也可以动态点分治做到 $O(n\log^2 n)$。答案告诉我们要按照 bfs 顺序染色，也就是按照深度顺序染，至于为什么（证：当前访问到 u，x 和 y 已经访问过，设 dep(lca(u,x)) <= dep(lca(u, y))，那么 x 到 y 只需要 将 x 到 u 的路径上 d(lca(u, y), u) 那段替换为 d(lca(u, y), y) 就行了，这样距离一定不超过 d。）

Problem H

Solved by kblack. 00:19 (+)

温暖的枚举签到。

Problem I

Solved by ultmaster. 04:24 (+)

题意：给一个三角形，求三角形内任意找 $m$ 个点组成的凸包的点数的期望。

题解：注意到凸包的形状与三角形形状无关，所以答案只跟 $m$ 有关。又因为 $m$ 不超过 10，于是就成了愉快地提交答案题。在本地跑了蒙特卡洛之后，发现收敛效果并不理想。最后上了服务器，甚至上了多进程。但是最后这些操作并没有什么卵用，报着试一试的心态把一开始（上多进程之前）跑出来的答案交了一发居然过了。

没想到居然还是正解。

Problem J

Solved by ultmaster. 02:51 (+)

题意：给一个简单多边形，给一个圆心，求最小的半径使得圆覆盖多边形的一定比例。

题解：二分答案求多边形与圆的交。kblack 发现这题以前写过（当然不大一样），很早就上了，写来写去调来调去还是不大行。最后上了 Plan C，去网上随便拉了个板子一发过了。当然这一通操作（我的锅？）最终导致 kblack 彻底掉线，本场 GG。