2019 ICPC Nanjing Onsite

Problem A

Solved by Kilo_5723.

题意：求从 $[1,n]$ 中随机取出至少多大的子集，能保证其中的数有至少一对存在倍数关系。

题解：通过样例猜出答案是 $\lfloor\frac{n+3}{2}\rfloor$，稍微又想了想，最坏的情况是不停的取最大的，这个时候答案应该确实是这样。

Problem B

Solved by Kilo_5723.

题意：遍历一个矩阵，使得被访问过的块之间一直有只经过被访问的块的最短路，求方案数。

题解：模拟之后发现起点只能是角块，而且确定起点之后只可能是新增一行或一列，因此 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$，而 $dp[x][1]=dp[1][x]=1$。得出 $dp[n][m]=C_{n+m-2}^{n-1}$，答案就是角块数量与 $C_{n+m-2}^{n-1}$ 的乘积。

Problem C

Solved by Xiejiadong.

题意：求一个矩阵中有多少满足下列要求的路径：

• 路径是极长的，不可在原基础上拓展；

• 路径的每一个位置单调递增且间隔为 $1$ ；

• 长度 $\ge 4$ 。

题解：用 $f[i][1/2/3/4]$ 分别表示到当前位置 $i$ 的长度分别为 $1/2/3/ \ge 4$ 的路径数量。

因为只能从值为 $x$ 的位置向 $x+1$ 的位置走，所以是一个 DAG ，按照拓扑排序顺序直接递推即可。

因为要是极长的，所以只有极小的位置能作为开头 $f[i][1]=1$ ，其余位置 $f[i][0]=0$ ；结束位置必须是极大的，统计答案的时候判断即可。

Problem D

Unsolved.

Problem E

Solved by Weaver_zhu.

Problem F

Solved by Xiejiadong.

题意：给出一个字符串，统计一个区间里面和给出字符串的公共前缀长度 $\ge k$ 的数量。

题解：把所有的模式串插入 Trie ，如果我们把插入 Trie 的模式串按照 dfs 序编号。

公共前缀长度 $\ge k$ 的所有字符串所在的结尾结点，一定是当前字符串第 $k$ 位对应的 Trie 上结点的孩子，所以一定是 dfs 序标号以后连续的一段。

于是可以通过差分，变成询问给定区间中 $\le k$ 的数量。

然后交换操作，可以变成单点修改操作，于是这部分就需要用树套树来维护了。

Problem G

Unsolved.

Problem H

Solved by Xiejiadong.

题意：已知有 $a$ 个人说真话，$b$ 个人说假话，$c$ 个人乱说话，问至少询问几次，可以得到正确答案。

题解：显然，要得到正确答案，我们只能从真话的人中得到。但由于不知道哪些人是说真话的，所以只能数量取胜，也就是只有 $a > b+c$ 的时候才有可能得到答案。

显然这种时候，要数量取胜，至少询问 $2(b+c)+1$ 次。

但是注意到有一个特殊情况 $a=1,b=0,c=0$ 的时候，其实不需要任何的询问。

Problem I

Unsolved.

Problem J

Solved by Weaver_zhu.

Problem K

Solved by Kilo_5723 && Xiejiadong.

题意：给出一个三角形和边上的一个端点，找到另一个端点，使得两个端点构成的线段将三角形分成了等面积的两部分。

题解：首先需要判断这个端点是否在三角形边上，即判断一个点是否在线段上，直接判断点积以及横坐标范围即可。

对于寻找另外一个点，我们需要先判断在哪半个三角形内，然后通过二分来确定位置。

当然也可以直接算出那个端点的位置。