CCPC-Wannafly Winter Camp Day1 (Div 1)

CCPC-Wannafly Winter Camp Day1 (Div 1)

Problem A

Solved.

不怎么温暖的签到。

题意：在平面上，有 $(1,0)-(n,0),(1,k)-(n,k),(0,0)-(0,k),(n,0)-(n,k)$ 四条线段，以及若干 $(i,0)-(i,k)$ 的线段。在 $(1,0)-(n,0),(1,k)-(n,k)$ 上各有一些需要经过的点，只能在线段交点上拐弯或掉头，求出一条从给定在 $(1,0)-(n,0)$ 上的起点出发，经过$(1,0)-(n,0),(1,k)-(n,k)$上所有给出的点，并回到起点的最短路径。

题解：在一般情况下，最优的情况是选择两条能包含所有点的与 $y$ 轴平行的线段构成的环，但在特殊情况下可能是由两条往返于起点的重合边与一个环构成，需要对于 $(1,0)-(n,0),(1,k)-(n,k)$ 上有无点的情况，以及起点在 $(1,0)-(n,0)$ 上所有点的左右两侧或是中间的情况，共 $3 \times 3 = 9$ 种情况分类讨论。

Problem B

Solved.

题意：有一个 $n \times m$ 的地图，每个位置上有一个 $<=10$ 的数字，当时刻能被数字整除时会掉落一颗糖，现在从起点出发，每秒能向上下左右移动一格，要收集到一定数量的糖后到达终点，求花费时间的最小值。

题解：如果糖数很小，可以用 dp 求解。因为数字 $\le 10$ ，每 $2520$ 秒都是一个 dp 性质完全相同的周期，因此先处理每一个位置在 2520 秒对其他所有位置的贡献，得到矩阵，再通过矩阵快速幂找到小于花费时间最小值的最大的能被 2520 整除的时刻，最后再 dp 一次找到具体位置。

答案可能会超过 long long 范围，可以用大整数模板，也可以用一些其他方法表示出答案。

Problem C

Solved.

温暖的签到

题意：给两个long long范围之内的数$A, B>=5$，求一种拆分使得$\sum_{i=1}^{n}{a_i}=A,\sum_{i=1}^{n}{b_i}=B,gcd(a_i,b_i)=1$如果有多个输出n最小的一个

思路：随机就完事了。。特判完$n=1$就随机划分成两个数直到找到解为止，不可能无解

Problem D

Unsolved.

Problem E

Solved.

题意：共有$n$个结点，第$i$个节点有一个价值$f_i$，若$i$为奇数，则$i$与$i \times 3+1$之间有边，否则$i$与$i/2$之间有边。如果一条边上两个顶点$x,y$都被取走，则损失$d_{min(x,y)}$的价值，可以取任意多的点，求可获得的最大价值。

题解：先考虑只有$i$和$i/2$之间有边的情况，可以用$dp$求解。构造一棵完全二叉树，设$dp_{i_1},dp_{i_0}$代表取或不取第$i$个节点时，$i$的子树所能取得的最大价值。根据性质，有且仅有一个节点与其左子节点之间存在边，以此构造$dp$转移方程。

接下来加入$i$与$i \times 3+1$之间的边。我们只要枚举所有的$i \times 3+1$取和不取的情况。因为$n<=100$，这样的节点不会超过$17$个，因此枚举次数少于$2^{17}$。枚举之后，只要在$dp$转移的过程中，将所有非法状态设为$-inf$，并对所有的奇数$i$，如果$i \times 3+1$已经被取，则$dp_{i_1}-=d[i]$即可。

Problem F

Solved.

签到

题意：爬山，一开始在1号山上，体力为k。每上升1m减少一点体力，下降1m增加一点体力。给出每个山的高度和它们之间的路径，可以减少山的高度，减少l花费l*l。总代价为路径长度和减少山高度的花费，求1到n的最少花费。

思路：显然体力和山的高度的和不变，所以体力根本不大需要关注。如果到点k体力不够就减少高度使得体力刚好够到k，这个花费应该加到终点为k的边的长度上。剩下的就是最短路了。

Problem G

Solved.

题意：有一个$x \times y$的大矩阵，每一个元素都是相同的$n \times m$的小矩阵，求出大矩阵中最大公约数不为$1$的最大子矩阵。

题解：最大子矩阵可能的情况一共有四种，每种情况各有一些小矩阵中的元素被选中：

$(n \times x) \times (m \times y)$：此时小矩阵中所有元素都被选中。

$p \times (m \times y)$和$(n \times x) \times q$：此时小矩阵中一些两条边界上或是中间的连续行或列被选中。

$p \times q$$(1 \le p \le n,1 \le q \le m)$：此时小矩阵中或边界上或四角上的元素被选中。

如果我们将小矩阵复制三次，构造出$2n \times 2m$的矩阵，我们可以不考虑边界情况，只考虑其中长$\le n$，宽 $\le m$的子矩阵。如果子矩阵的长$=n$则按$n*x$，宽$=m$则按$m*y$计算面积，否则正常计算面积即可。

因此，先预处理处理后的小矩阵，每一行上连续的每一段数的最大公约数，再枚举小矩阵的左右和上边界，找到最低的下边界使得矩阵所有元素最大公倍数不为$1$即可。

这种方法的时间复杂度是$O(n^4)$，花费时间会超过$800ms$，但如果先筛去所有不可能比现答案更高的枚举情况，只要花费不到$100ms$。

Problem H

Solved.

题意：有 $n$ 个 $1 \times a_i$，下端对齐的长条，每次可以选择一个区间 $[l,r]$ 和一个高度 $h$ ，如果 $[l,r]$ 内所有长条的初始高度都小于等于 $h$ ，则取走 $[l,r]$ 内所有长条高度 $\le h$ 的部分。最多可以执行 $k$ 次此操作，求能取走的长条段的最大总长。

题解：我们考虑图形中 $[l,r]$ 高度 $h$ 最低的一列，这一列将整个图形分成了两部分。我们会发现，最优解有两种情况，第一种是包含取走 $[l,r]$ 中小于等于$h$的部分，另一种不包含此操作。而无论哪种情况，剩余的操作都可以通过递归处理左右两部分找出。我们设 $dp[k][i][j]$ 代表第 $k$ 个区间中执行 $i$ 次操作，取走区间中总宽为 $j$ 的部分的最大收益，可以得出从左右子区间推到父区间的 dp 方程。如果左右子区间长度分别为 $x,y$，每次状态转移都要花去 $x^2 \times y^2$ 的时间，看似每次是$O(n^4)$的，但实际上所有转移花费的时间总和远远小于 $O(n^5)$ ，可能是 $O(n^4)$ 并且常数非常小，不会 TLE。

Problem I

Solved.

题意：定义一个长度$=2k+1(k>=1)$的序列是好的，当且仅当其奇数项递减，且偶数项小于两边的奇数项。给出一个$n$的排列$\{ a_n \}$，求出其中中好的子序列的数量。

题解：设$dp_i$代表以$i$为奇数项末尾的好的子序列的数量，我们会发现，$dp_i$是所有$j<i$且$a_j>a_i$的$dp_j \times (j$到$i$之间小于$a_i$的数的个数$)$。如果按$a_i$从大到小处理答案，就可以对$dp$数组直接求和，但需要乘上小于$a_i$的数的数量，因此用线段树维护$dp_i$，$i$后方还未被处理过的数的个数，和$dp_i \times (i$后方还未被处理的数的个数$)$的区间和。如此即可按$a_i$从大到小计算出每个位置的$dp_i$。

Problem J

Solved.

题意：$n$个人共有$m$件物品，现在一个人要购买这些物品，使得他拥有的物品数严格大于每一个人，求最小代价。

题解：从大到小枚举剩下的人中拥有物品最多的人拥有的物品数。

首先，对每个人拥有的物品按照价格降序排列，在拥有物品最多的人拥有$k$件物品时，首先，每个人拥有的下标$>k$个的物品必须全部被选上。然后，再在剩下的物品中选取最小的若干个，使得拥有的物品数量总和$>k$。因此，我们可以用$set$维护每个人拥有的下标$\le k$的物品。每次从$k$推到$k-1$时，从集合中删去所有下标$=k$的物品，全部加到答案中，再一直将集合中最大的物品弹出，直到拥有的物品总数$=k$或集合为空。

然后，对每一次的答案取$min$，就是要输出的答案。

Problem K

Unsolved.