2019 Multi-University,HDU Day 7

Problem A

Solved by Xiejiadong && Kilo_5723.

题意：给定 $a,b,c$，求 $n,m,k$ 使得 $a\cdot 10^n+b\cdot 10^m=c\cdot 10^k$。

Kilo_5723: 我们发现，补零到 $a,b,c$ 长度相等之后，可能的情况只有四种：$b \mid (c-a),b \mid (10\cdot c-a),a \mid (c-b),a \mid (10\cdot c-b)$。逐个判断。

Xiejiadong:

首先我们把 $a,b,c$ 末尾的 $0$ 都去掉得到 $A,B,C$ ，方便处理。去掉的 $0$ ，我们显然是和以通过调整相对大小补回来的。

我们考虑 $C\cdot 10^k$ ， $k>0$ 的情况只存在于 $A+B$ ，因为如果是 $A\cdot 10^n+B=C\cdot 10^k(n>0,k>0)$ 的情况，显然 $B$ 的末尾是存在 $0$ 的，这和我们上面已经去掉了末尾的 $0$ 矛盾。

那么接下来，显然就是 $k=0$ 的情况，这样的话，显然 $n=0$ 或者 $m=0$ ，因为 $C$ 的最后以为是非 $0$ 的。

确定一个数和 $C$ 末尾对齐以后，另一个要么是和 $C$ 首位对齐，要么就是和 $C$ 第二位对齐（发生了进位）。

还有一种情况是， $A$ (不失一般性)和 $C$ 长度相等，这个时候 $B$ 的位置是不确定的，但我们可以通过从 $A$ 的末尾开始和 $C$ 比较，不相同的最后以为就是 $B$ 的末尾所在的位置。

Problem B

Solved by László Tóth

论文名称： Counting Solutions of Quadratic Congruences in Several Variables Revisited

László Tóth

Journal of Integer Sequences, Vol. 17 (2014), Article 14.11.6

复现了波论文。

Problem C

Unsolved.

Problem D

Unsolved.

Problem E

Unsolved.

Problem F

Solved by Kilo_5723 && Xiejiadong.

题意：求复习最少需要的时间，使得无论试卷怎么分布都能至少做出 $k$ 题。

题解：

Xiejiadong：大概想了想，很难想清楚。但一定和 $\frac{m}{n-k+1}$ 有关，然后看了眼样例，猜了个结果，就对了。于是怂恿出题人改了改样例。

Kilo_5723：换位思考，考虑如果我们是出题人会怎么让学生做不出 $k$ 题。

显然，我们会挑出学生复习得最少的 $n-k+1$ 道题，让每道题的难度都等于他复习的时间。

因此，回到学生视角，我们要让自己复习的最少的 $n-k+1$ 题复习时间总和 $>m$，构造方式显然。

Problem G

Solved by Xiejiadong.

题意：钱在一个区间 $[a,b]$ 内（未知），每次可以选择取 $x$ 元钱：

• 如果卡内余额不足 $x$ ，花费 $b$ ，卡内余额不动；

• 如果卡内余额大于 $x$ ，花费 $a$ ，卡内余额减少 $x$ 。

题解：可以发现，区间是没有用的，可以调整成 $[0,r-l]$ 。

但是又会发现，本来 $0$ 开头的的和本来不是 $0$ 开头的计算方式不同。

可以先二分确定对当前区间取钱的近似最优位置，然后暴力找。

也可以直接三分确定最优位置。

确定最有位置的方法是计算取 $mid$ 的时候，两边哪边花费比较大就向哪边倾斜，以获取平衡的最小代价。

Problem H

Unsolved.

Problem I

Solved by Kilo_5723.

题意：求三维任意柱体体积交。

题解：我们只关心两个多边形被 $y=y_0$ 直线截取的长度 $len(y_0)$ ，因此把两个多边形都按照节点 $y$ 坐标排序，统计有向边的斜率和，特判有向边与 $y=y_0$ 平行的情况。

我们发现， $len(y_0)$ 是一个分段函数，且每一段都是一次函数。

现在，我们要求 $len1(y_0)\cdot len2(y_0)$ 的积分，可以从左到右枚举两个函数的每一段，然后求两个一次函数的积分，加到答案里。

注意在统计斜率和时，要删除已经不在答案中的有向边。

Problem J

Unsolved.

Problem K

Solved by Kilo_5723.

题意：从第 $i$ 层花费 $c_i$ 可以有 $p_i$ 的概率上升到 $i-1$ 层，另外 $1-p_i$ 的概率会回到第 $x_i(x_i\le i)$ 层，每次询问求从第 $l$ 层上升到第 $r$ 层的期望花费。

题解：设从 $l$ 到 $r$ 的期望为 $g(l,r)$，只要发现这种期望满足减法，也就是 $g(l,r)=g(1,r)-g(1,l)$，这道题就做出了一半。

对每一层，我们可以根据 $p_i$ 算出回到 $x_i$ 的期望次数 $a_i$，那么从 $i$ 层到 $i+1$ 层的期望就是 $a_i \cdot (g(x_i,i)+c_i)+c_i$。从小到大算出每一个 $g(1,i)$，对每个答案输出 $g(1,r)-g(1,l)$。