ICPC 2019 Xuzhou Online Contest

Problem A

Solved by Kilo_5723 && Weaver_zhu. 03:40 (+)

题意：用同余式给出 $n$，有 $n$ 个石子，第一个人可以拿任意多但不能全拿走，之后每个人可以拿 $1$ 到前一个人拿取石子总数两倍的石子，取光石子的人获胜，求先手必胜还是后手必胜。

题意：第一部分是 CRT，第二部分是斐波那契博弈，当且仅当 $n$ 在斐波那契数列里出现过时后手必胜。

Problem B

Solved by Xiejiadong. 03:23 (+5)

题意：支持两个操作：

• 删掉一个数

• 询问一个数之后没被删掉的第一个数

题解：询问的位置之后，连续的一段被删掉的是会被影响的。

可以发现，答案只会是所有询问和修改位置，或者他们 $+1$ 位置，离线以后离散，用并查集维护即可。

死于 C++14 跑的比 C++11 慢。

Problem C

Solved by Xiejiadong. 00:14 (+1)

傻逼签到题。

死于出题人的英语水平。

Problem D

Solved by Kilo_5723. 01:43 (+)

题意：给出一个父串 $T$，给出 $n$ 个子串 $S_i$，求 $T$ 和每个 $S_i$ 的包含关系。保证 $\sum_{i=1}^{n}(|T|+|S_i|)\le 10^7$。

题解：一开始没看到最后一个限制条件，做 $n$ 次 KMP 就可以了。

Problem E

Solved by Weaver_zhu. 00:51 (+1)

Problem F

Unsolved.

Problem G

Solved by Xiejiadong. 01:18 (+2)

题意：询问所有回文子串的价值，一个字符串的价值定义为包含的不同字母数量。

题解：利用 pam 建出所有回文串。

在见串的同时保存被一个状态所包含的不同字母数量，暴力加上当前转移边上的字母。

答案就是所有状态出现的次数 * 所有状态包含的不同字母数量。

Problem H

Unsolved.

Problem I

Solved by Xiejiadong && Kilo_5723. 01:55 (+)

题意：给出一个排列，每次求一个排列的区间中有多少数对满足 $min(x,y)=gcd(x,y)$ 。

题解：很容易发现， $min(x,y)=gcd(x,y)$ 等价于 $x|y$ 或者 $y|x$ ，而因为保证了给出的是一个排列，所以整除关系总数是 $nlogn$ 的。

于是，可以利用筛法，如果 $x|y$ ，我们就把 $(x,y)$ 这个点加入平面，询问就变成了询问一个正方形区域内点的数量。

离线，树状数组维护二维数点即可。

Problem J

Solved by Kilo_5723. 02:49 (+)

题意：给出一棵树，令 $S(u)$ 代表 $u$ 的孩子的集合，$rand(S(u))$ 代表 $u$ 的一个随机孩子，定义函数 $dfs(u)$：

\begin{equation} dfs(u)=\left\{ \begin{aligned} &dep(u)&(|S(u)|=0)\\ &max_{i=1}^{|S(u)|}dfs(rand(S(u))) & (|S(u)|\neq 0) \end{aligned} \right. \end{equation}

求 $dfs(1)=maxdep$ 的概率。

题解：相当于求可以访问到深度最深的节点的概率。令 $dfs(u)=maxdep$ 的概率为 $p(u)$，则对于每一个非叶节点 $u$，$f(u)=\frac{\sum_{v \in S(u)}\;p(v)}{|S(u)|}$ 就是 $dfs(rand(S(u))=maxdep$ 的概率，$dfs(u)=max_{i=1}^{|S(u)|}dfs(rand(S(u)))=maxdep$ 的概率 $p(u)$ 就是 $1-(1-f(u))^{|S(u)|}$。答案就是 $p(1)$。

Problem K

Solved by Kilo_5723. 02:06 (+2)

题意：给出平面上 $n$ 个点，求至少要添加多少个点使得所有点中心对称。

题解：枚举中心对称的点。对于每个点 $P$，$P$ 每是一对点的中点，选取 $P$ 就能减少两个需要添加的点。$P$ 每和一个点重合，选取 $P$ 就能减少一个需要添加的点。在所有点中选取能减少需要添加点的数量最多的就是答案。

Problem L

Solved by Kilo_5723 && Xiejiadong. 04:43 (+)

题意：平面网格图上有一个骰子，给出 $n$ 个需要经过的点，可以以任意顺序经过这些点，但一定要正面向上才算经过。求让骰子经过所有点的最小滚动次数。

题解：问题分为两部分。第一部分是求出 $n$ 个点之间滚动的最短距离，第二部分是给出 $n$ 个点以及两两距离，求从原点出发经过每个点的最短链。

对于第一部分，我们要求的是从 $(x1,y1)$ 正面朝上出发，正面朝上地到达 $(x2,y2)$ 的最小滚动次数。我们发现，当 $|x1-x2|$ 或 $|y1-y2|$ 太大，我们最优的选择之一是朝相近的方向滚动 $4$ 次，不改变骰子的朝向而将距离减少 $4$。因此，我们可以把 $|x1-x2|$ 和 $|y1-y2|$ 压缩到较小的范围而不影响正确性。我们取 $0 \le |x1-x2|,|y1-y2| \le 100$。

对于这种范围，可以 BFS 求出 $0,0$ 到每个位置上每个朝向状态的最小翻滚次数。可朝向状态太多，还是很难处理。

但我们发现，这些状态是可以压缩的。因为这道题里，每个侧面都没有区别，所以可以把朝向状态压缩成六个：正面朝上，背面朝上，侧面朝上时正面向上/下/左/右。这样，向四个方向滚动后新的朝向状态也能枚举出来。对于问题的第一部分，只要把两个点之间的相对距离压缩到 $100$ 以内，再通过 BFS 预处理的结果 $O(1)$ 求出来。

而问题的第二部分是一个经典的状态压缩 $dp$。将 $n$ 个点两两按距离建边，通过状压 $dp$ 求出最短链就是答案。

Problem M

Solved by Weaver_zhu. 02:30 (+)