Training 2: Probability and Expectation

Problem A

Solved by Kilo_5723 && Weaver_zhu.

题意：给定一个无向联通图，每一条边有一个权值，从起点开始每次随机选一条边走，问走到终点时，走过的所有边权值异或和的期望值。

题解：对于边权的每一个二进制位分别求解，将每个点到终点路径异或和的期望值设为未知数，对每一个点及其所有出边列出方程，高斯消元求解即可。

Problem B

Solved by Kilo_5723 && Weaver_zhu.

题意：两个人在一个无向联通图的两点上，每个人在第 $i$ 个点上有 $p_i$ 的概率留在原点，有 $1-p_i$ 的概率从所有连边中随机选择一条出边去别的房间。每一个时刻，两人按如上规则随机移动，求两个人第一次选择去同一个房间时，这个房间是每个房间的概率。

题解：将两个人各自所在房间的二元组 $(a,b)$ 设为一个状态，将每个状态到达每个终态 $a=b$ 的概率设为未知量，对每一个二元组可能到达的二元组状态列出方程，高斯消元求解即可。

Problem C

Solved by Kilo_5723.

题意：你的生命值是 $p$，最大生命值是 $n$，每一次恢复一点生命值，随后有 $m$ 轮攻击，每轮攻击有 $frac{1}{p}$ 的概率对你造成 $1$ 点伤害。问你在被打死之前回复生命值的期望值。

题解：将每个生命值被打死之前回复生命值的期望值设为未知量，将每个血量可能到达的状态列出方程。我们发现，生命值为 $p$ 时最多可能达到 $p+1$，也就是这个矩阵已经非常接近上三角矩阵了，只要用每一行消去下一行的元就可以了。我们只需要求出一个未知量的值，那么用它下面的每一行消这一行的元就可以了，整体复杂度是 $O(n^2)$ 的。

Problem D

Solved by Kilo_5723.

题意：$n$ 次操作，第 $i$ 次操作有 $p_i$ 的概率成功。最后的得分是每一段极长的连续成功操作串的长度的三次方和，求最后得分的期望值。

题解：对于任意一个从 $i$ 到 $j$ 的极长连续成功操作串，它对答案的贡献是 $(1-p_{i-1}) \times \prod_{k=i}^{j} p_k \times (1-p_{j+1}) \times (j-i+1)^3$。

拆分之后按 $\prod_{k=i}^{j} p_k$ 作为项求和，发现了在 $i!=j$ 时，每一个 $\prod_{k=i}^{j} p_k$ 对答案的贡献是 $\prod_{k=i}^{j} p_k \times 6(j-i)$，$i=j$ 时贡献是 $p_i$。

将 $i!=j$ 的情况进一步拆分，变成了 $6j \times \prod_{k=i}^{j} p_k - 6i \times \prod_{k=i}^{j} p_k$，这样我们就可以将所有同一起点的极长连续成功操作合并，同一终点的极长连续成功操作也合并，$O(n)$ 求出总贡献。

Problem E

Solved by Kilo_5723.

Problem F

Solved by Kilo_5723.

Problem G

Solved by Kilo_5723.

Problem H

Solved by Kilo_5723.