2019 Multi-University,Nowcoder Day 1

Problem A

Solved by Kilo_5723. 00:20:52 (+)

题意：给定两个 $1$ ~ $n$ 的排列 $\{a_i\},\{b_i\}$，求最大的 $m$，使得 $RMQ(a,l,r)=RMQ(b,l,r)$ 对所有 $1 \le l \le r \le m$ 成立，其中 $RMQ(c,l,r)$ 是 $c_l,c_{l+1},\dots,c_r$ 中最小元素的下标。

题解：考虑对任意 $m$ 判断是否满足条件。我们发现，若 $RMQ(a,1,m) \neq RMQ(b,1,m)$ 则肯定不满足条件，否则对所有 $l \le m \le r$，$RMQ(a,l,r)=RMQ(b,l,r)$。此时对 $(l,m-1)$ 和 $(m+1,r)$ 递归求解就可以判断 $1~m$ 是否满足条件。

因此，对 $m$ 二分求解，就可以找到最大的 $m$。

Problem B

Upsolved by Kilo_5723. (-1)

题意：求 $\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}{\rm d}x$。

题解：可以把分式的连乘转换成分式的和，再分别积分。

我们发现，$\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(x^2+a_i^2)\prod_{j=1}^n(a_j^2-a_i^2)(j!=i)}$。

利用此性质，将乘积的积分转换成积分的和，易解。

Problem C

Solved by Kilo_5723. 04:12:29 (+1)

题意：给定一个 $n$ 维空间中的点 $(a_1,a_2,\dots,a_n)$，求一个点 $(p_1,p_2,\dots,p_n)(\sum_{i=1}^n p_i=1,a_i>=0)$，使得两点距离最短。

题解：显然，若没有 $p_i>=0$ 的限制，使得每一个 $a_i=p_i$ 相等即可。但加上限制之后，为了最小化影响，应该对 $>0$ 的 $p_i$ 均等的减少一定量的值补给 $<0$ 的缺口。

一种实现方法是：对 $p_i$ 进行排序，统计 $<0$ 的 $p_i$ 的和。从小到大遍历 $>0$ 的 $p_i$：

如果 $p_i$ 小于将当前的缺口平均分摊给每一个正数的均摊值，说明 $p_i$ 要被减到 $0$，将缺口减去 $p_i$。

否则，对于当前的 $p_i$ 以及之后的每一个 $p_i$，均摊缺口。

由于要求输出分数，运算过程中分子分母的大小可能超过 long long 能存储的范围，但答案没有超出范围，用 __int128 存储即可。

Problem D

Unsolved.

Problem E

Solved by Kilo_5723. 02:25:19 (+)

题意：求长度为 $2(n+m)$ 的 $01$ 序列，使得其中恰好能取出不一定连续的 $n$ 个 $01$ 和 $m$ 个 $10$。

题解：先考虑给定一个序列，如何判断其是否能取出 $n$ 个 $01$ 和 $m$ 个 $10$。我们发现，可以贪心的将新读到的数作为端口 $0-$ 或 $1-$，直到对应的端口数量已经满足要求，需要和对应的另一种端口 $1-$ 和 $0-$ 匹配成 $10$ 和 $01$。如果过程中另一种端口的数量不足，则给定序列不满足性质。

根据这种方法，我们可以将加入字符看作是在平面上移动的过程。横纵坐标分别为 $0,1$ 的数量，初始位置为 $(0,0)$，我们要向右或向上走（即加入 $0$ 或 $1$），到达 $(n+m,n+m)$。根据上面的判断方式，需要满足的限制条件为 $-n \le x-y \le m$。将问题转换为在只能向右或向上走，且横纵坐标 $x,y$ 始终满足 $-n \le x-y \le m$ 的情况下，$(0,0)$ 到 $(n+m,n+m)$ 的路径条数。 $O(n^2)$ dp 求解。

Problem F

Solved by Kilo_5723. 00:50:00 (+)

题意：在一个三角形内随便散点，一次散点的价值是被分出来的最大三角形的面积，求随机散点的期望价值。

题解：小范围随机散点，蒙特卡洛找规律。

可以发现答案是 $22$ 倍的三角形面积。

Problem G

Unsolved.

Problem H

Unsolved.

Problem I

Unsolved.

Problem J

Solved by Xiejiadong. 00:07:33 (+)

题意：比较两个分数的大小。

题解：直接比较会爆 long long ，开 __int128 就好了。