2019 Multi-University,Nowcoder Day 1

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Problem A

Solved by Kilo_5723. 00:20:52 (+)

题意:给定两个 $1$ ~ $n$ 的排列 $\{a_i\},\{b_i\}$,求最大的 $m$,使得 $RMQ(a,l,r)=RMQ(b,l,r)$ 对所有 $1 \le l \le r \le m$ 成立,其中 $RMQ(c,l,r)$ 是 $c_l,c_{l+1},\dots,c_r$ 中最小元素的下标。

题解:考虑对任意 $m$ 判断是否满足条件。我们发现,若 $RMQ(a,1,m) \neq RMQ(b,1,m)$ 则肯定不满足条件,否则对所有 $l \le m \le r$,$RMQ(a,l,r)=RMQ(b,l,r)$。此时对 $(l,m-1)$ 和 $(m+1,r)$ 递归求解就可以判断 $1~m$ 是否满足条件。

因此,对 $m$ 二分求解,就可以找到最大的 $m$。

Problem B

Upsolved by Kilo_5723. (-1)

题意:求 $\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}{\rm d}x$。

题解:可以把分式的连乘转换成分式的和,再分别积分。

我们发现,$\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(x^2+a_i^2)\prod_{j=1}^n(a_j^2-a_i^2)(j!=i)}$。

利用此性质,将乘积的积分转换成积分的和,易解。

Problem C

Solved by Kilo_5723. 04:12:29 (+1)

题意:给定一个 $n$ 维空间中的点 $(a_1,a_2,\dots,a_n)$,求一个点 $(p_1,p_2,\dots,p_n)(\sum_{i=1}^n p_i=1,a_i>=0)$,使得两点距离最短。

题解:显然,若没有 $p_i>=0$ 的限制,使得每一个 $a_i=p_i$ 相等即可。但加上限制之后,为了最小化影响,应该对 $>0$ 的 $p_i$ 均等的减少一定量的值补给 $<0$ 的缺口。

一种实现方法是:对 $p_i$ 进行排序,统计 $<0$ 的 $p_i$ 的和。从小到大遍历 $>0$ 的 $p_i$:

如果 $p_i$ 小于将当前的缺口平均分摊给每一个正数的均摊值,说明 $p_i$ 要被减到 $0$,将缺口减去 $p_i$。

否则,对于当前的 $p_i$ 以及之后的每一个 $p_i$,均摊缺口。

由于要求输出分数,运算过程中分子分母的大小可能超过 long long 能存储的范围,但答案没有超出范围,用 __int128 存储即可。

Problem D

Unsolved.

Problem E

Solved by Kilo_5723. 02:25:19 (+)

Problem F

Solved by Kilo_5723. 00:50:00 (+)

题意:在一个三角形内随便散点,一次散点的价值是被分出来的最大三角形的面积,求随机散点的期望价值。

题解:小范围随机散点,蒙特卡洛找规律。

可以发现答案是 $22$ 倍的三角形面积。

Problem G

Unsolved.

Problem H

Unsolved.

Problem I

Unsolved.

Problem J

Solved by Xiejiadong. 00:07:33 (+)

题意:比较两个分数的大小。

题解:直接比较会爆 long long ,开 __int128 就好了。